已知向量a1,a2,a3线性无关.试确定数X1,X2,X3使得a1+X2*a2,a2+X3*a3,a3+X1*a1也线性无关

Question

已知向量a1,a2,a3线性无关.试确定数X1,X2,X3使得a1+X2*a2,a2+X3*a3,a3+X1*a1也线性无关

Answer 1

因为a1,a2,a3线性无关.（a1 a2 a3)为列满秩（a1+x2*a2 a2+x3*a3 a3+x1*a1)=(a1 a2 a3)*(1 x2 0)T(0 1 x3)T （x1 0 1)T当矩阵乘一个可逆矩阵时,则矩阵的秩不变.当(1 x2 0)T(0 1 x3)T （x1 0 1)T为可逆矩阵时（a1+X2*a2,a2+X3*a3,a3+X1*a1）仍为列满秩.线性无关.利用代数余子式可知)*(1 x2 0)T(0 1 x3)T （x1 0 1)T=x1*x2*x3+1所以当x1*x2*x3+1不等于零即x1*x2*x3不等于-1时a1+X2*a2,a2+X3*a3,a3+X1*a1也线性无关