已知矩阵A=(2-14-3)求A^nn是正整数

Question

已知矩阵A=(2 -1 4 -3)求A^n
n是正整数

Answer 1

设此矩阵A的特征值为λ
则
|A-λE|=
2-λ -1
4 -3-λ
=(2-λ)(-3-λ) +4
=λ^2 +λ -2
=(λ+2)(λ-1)=0
解得λ=1或 -2
当λ=1时,
A-λE
=A-E=
1 -1
4 -4 第2行减去第1行×4
1 -1
0 0
得到特征向量为(1,1)^T
当λ= -2时,
A-λE
=A+2E=
4 -1
4 -1 第2行减去第1行
4 -1
0 0
得到特征向量为(1,4)^T
而计算很容易得到矩阵P
1 1
1 4
的逆矩阵P^(-1)为
4/3 -1/3
-1/3 1/3
于是
A^n
=P(1 0 ) ^n *P^(-1)
(0 -2)
=
(1 1 *(1 0 * (4/3 -1/3
1 4) 0 (-2)^n) -1/3 1/3)
=
( 4/3 - (-2)^n /3 -1/3+ (-2)^n /3
4/3 - (-2)^n *4/3 -1/3+ (-2)^n *4/3 )