（2011•延安模拟）已知点Pn（an，bn）满足an+1＝anbn+1，bn+1＝bn1−a2n，且P0(13，23)(n∈N)．（1）求点P1坐标，并写出过点P0，P1的直线L的方程；（2）猜测点Pn（n≥2）与直线L的位置关系，并加以

Question

（2011•延安模拟）已知点P_n（a_n，b_n）满足an+1＝anbn+1，bn+1＝(bn)/(1−a2n)，且P0((1)/(3)，(2)/(3))(n∈N)．
（1）求点P₁坐标，并写出过点P₀，P₁的直线L的方程；
（2）猜测点P_n（n≥2）与直线L的位置关系，并加以证明；
（3）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式，并求

OPn

•

OPn+1

的最小值（其中O为坐标原点，n∈N^*）．

Answer 1

（1）由a0＝(1)/(3)，b0＝(2)/(3)，
得a1＝(1)/(4)，b1＝(3)/(4)，
得P₁坐标为（(1)/(4)，(3)/(4)）…2'
显然直线L的方程为x+y=1 …4'
（2）由a1＝(1)/(4)，b1＝(3)/(4)，
得a2＝(1)/(5)，b2＝(4)/(5)，
∴点P₂∈L，
猜想点P_n（n≥2，n∈N）在直线L上，…6'
以下用数学归纳法证明：
当n=2时，点P₂∈L
当n=k（k≥2）时，点P_k∈L，
即a_k+b_k=1，
则当n=k+1时，
a_k+1+b_k+1=a_kb_k+1+b_k+1=(1+ak)•(bk)/(1−a2k)＝(bk)/(1−ak)＝1，
∴点P_k+1∈L，
∴点P_n∈L（n≥2）…10'
（3）由a_n+1=a_nb_n+1，
b_n+1=(bn)/(1−a2n)，
a_n+b_n=1，
得a_n+1=an(bn)/(1−a2n)＝an(1−an)/(1−a2n)＝(an)/(1+an)(an≠0)
∴(1)/(an+1)＝(1)/(an)+1…12'
∴{(1)/(an<作业帮用户2017-11-08举报问题解析（1）由a0＝(1)/(3)，b0＝(2)/(3)得a1＝(1)/(4)，b1＝(3)/(4)，由此能求出直线L的方程．（2）由a1＝(1)/(4)，b1＝(3)/(4)得a2＝(1)/(5)，b2＝(4)/(5)，所以点P2∈L，猜想点Pn（n≥2，n∈N）在直线L上并用数学归纳法加以证明．（3）由an+1=anbn+1，bn+1=(bn)/(1−a2n)，an+bn=1，得an+1=an(bn)/(1−a2n)＝an(1−an)/(1−a2n)＝(an)/(1+an)(an≠0)．故(1)/(an+1)＝(1)/(an)+1，{(1)/(an)}是等差数列，(1)/(an)＝(1)/(a0)+n＝n+3．由此能求出数列{an}与{bn}的通项公式，和OPn•OPn+1的最小值．名师点评本题考点：数列与解析几何的综合．考点点评：本题考查数列与解析几何的综合，具有一定的难度．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)