在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+y2=4和圆C2：（x-4）2+（y-4）2=4．（1）若直线l过点A（4，-1），且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；（2）是否存在一个定点P，使过P点有无数

Question

在平面直角坐标系xoy中，已知圆C₁：（x+3）²+y²=4和圆C₂：（x-4）²+（y-4）²=4．
（1）若直线l过点A（4，-1），且被圆C₁截得的弦长为2√(3)，求直线l的方程；
（2）是否存在一个定点P，使过P点有无数条直线l与圆C₁和圆C₂都相交，且l被两圆截得的弦长相等，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由于直线x=4与圆C₁不相交，所以直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y=k（x-4）-1，圆C₁的圆心到l的距离为d，所以d=1．
由点到直线l的距离公式得d=(|7k+1|)/(√(1+k2))，从而k（24k+7）=0
所以k=0或k=-(7)/(24)，所以直线l的方程为y=-1或7x+24y-4=0．
（2）假设存在，设点P的坐标为P（a，b），l的方程为y-b=k（x-a），因为圆C₁和圆C₂的半径相等，被l截得的弦长也相等，所以圆C₁和圆C₂的半径相等，到l的距离相等，即(|-3k+b-ak|)/(√(1+k2))=(|4k-4+b-ak|)/(√(1+k2))，整理得：（14a-7）k2-（8a+14b-32）k+8b-16=0，因为k的个数有无数多个，所以

14a-7=0

8a+14b-32=0

8b-16=0

解得

a=(1)/(2)

b=2

综上所述，存在满足条件的定点P，且点P的坐标为P((1)/(2)，2)．
注：用平面几何知识可能更简单．