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在平面直角坐标系xoy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为23,求直线l的方程(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P
题目详情
在平面直角坐标系xoy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4
(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2
,求直线l的方程
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,求所有满足条件的点P的坐标.
(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2
3 |
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,求所有满足条件的点P的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)由于直线x=4与圆C1不相交;
∴直线l的斜率存在,设l方程为:y=k(x-4)(1分)
圆C1的圆心到直线l的距离为d,∵l被⊙C1截得的弦长为2
∴d=
=1(12分)
d=
从而k(24k+7)=0即k=0或k=-
∴直线l的方程为:y=0或7x+24y-28=0(5分)
(2)设点P(a,b)满足条件,
由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0,
不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a),k≠0
则直线l2方程为:y-b=-
(x-a)(6分)
∵⊙C1和⊙C2的半径相等,及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,
∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等
即
=
∴直线l的斜率存在,设l方程为:y=k(x-4)(1分)
圆C1的圆心到直线l的距离为d,∵l被⊙C1截得的弦长为2
3 |
∴d=
22−(
|
d=
|1−k(−3−4)| | ||
|
7 |
24 |
∴直线l的方程为:y=0或7x+24y-28=0(5分)
(2)设点P(a,b)满足条件,
由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0,
不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a),k≠0
则直线l2方程为:y-b=-
1 |
k |
∵⊙C1和⊙C2的半径相等,及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,
∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等
即
|1−k(−3−a)−b| | ||
|
|5+
| ||||
|
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