（2008•滨州二模）如图所示的竖直平面内有范围足够大、水平向左的匀强电场，在虚线的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度大小为B，一绝缘轨道由两段直杆和一半径为R的半圆环组

Question

（2008•滨州二模）如图所示的竖直平面内有范围足够大、水平向左的匀强电场，在虚线的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度大小为B，一绝缘轨道由两段直杆和一半径为R的半圆环组成，固定在纸面所在的竖直平面内，PQ、MN水平且足够长，半圆环MAP在磁场边界左侧，P、M点在磁场边界线上，NMAP段光滑，PQ段粗糙．现在有一质量为m、带电荷量为+q的小环套在MN杆上，它所受电场力为重力的(3)/(4)倍．现将小环从M点右侧的D点由静止释放，小环刚好能到达P点．
（1）求DM间距离x₀；
（2）求上述过程中小环第一次通过与O等高的A点时半圆环对小环作用力的大小；
（3）若小环与PQ间动摩擦因数为μ（设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等），现将小环移至M点右侧4R处由静止开始释放，求小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

（1）小环刚好到达P点时速度v_P=0，由动能定理得
   qEx₀-2mgR=0                                          
而  qE＝(3mg)/(4)
所以x0＝(8R)/(3)
（2）设小环在A点时的速度为v_A，由动能定理得
  qE(x0+R)−mgR＝(1)/(2)m

v

2 A

−0
因此vA＝(√(14Rg))/(2)
设小环在A点时所受半圆环轨道的作用力大小为N，由牛顿第二定律得
  N−qvAB−qE＝m(v2A)/(R)
解得  N＝(17mg)/(4)+(qB√(14Rg))/(2)
（3）若f=μmg≥qE，即μ≥(3)/(4)．小环第一次到达P点右侧s₁距离处静止，由动能定理得
  qE（4R-s₁）-2mgR-fs₁=0                                       
而f=μmg，因此得  s1＝(4R)/(4μ+3)
设克服摩擦力所做的功为W，则  W＝fs1＝(4μmgR)/(4μ+3)
若f=μmg≤qE，即μ＜(3)/(4)．环经过来回往复运动，最后只能在PD之间往复运动，设克服摩擦力所做的功为W，则
qE（4R）-mg（2R）-W=0                                    
解得W=mgR
答：（1）DM间距离x₀是(8R)/(3)．
（2）上述过程中小环第一次通过与O等高的A点时半圆环对小环作用力的大小是(17mg)/(4)+

qB

作业帮用户 2017-10-11 举报

问题解析

（1）小环刚好到达P点时速度为零，对D到P为研究过程，运用动能定理求出DM间的距离．
（2）对D到A为研究过程，运用动能定理求出A点的速度，根据牛顿第二定律，沿半径方向上合力提供向心力，求出弯杆对小环作用力的大小．
（3）需讨论摩擦力的大小与电场力的大小关系，若摩擦力大于电场力，则运动到P点右侧停止；若摩擦力小于电场力，则环最终在DP间往复运动．根据动能定理求出摩擦力做的功．

名师点评

本题考点：

动能定理的应用；牛顿第二定律．

考点点评：

运用动能定理解题需合适地选取研究的过程，根据动能定理列出表达式求解．

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