（2014•东营一模）已知数列{an}的前n项和Sn=an+n2-1，数列{bn}满足3n•bn+1=（n+1）an+1-nan，且b1=3．（Ⅰ）求an，bn；（Ⅱ）设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn，并求满足Tn＜7时n的最大值．

Question

（2014•东营一模）已知数列{a_n}的前n项和S_n=a_n+n²-1，数列{b_n}满足3ⁿ•b_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，且b₁=3．
（Ⅰ）求a_n，b_n；
（Ⅱ）设T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n，并求满足T_n＜7时n的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由Sn＝an+n2−1，得
Sn−1＝an−1+(n−1)2−1 （n≥2），
两式相减得，a_n=a_n-a_n-1+2n-1，
∴a_n-1=2n-1，则a_n=2n+1．
由3ⁿ•b_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，
∴3ⁿ•b_n+1=（n+1）（2n+3）-n（2n+1）=4n+3．
∴bn+1＝(4n+3)/(3n)．
∴当n≥2时，bn＝(4n−1)/(3n−1)，
由b₁=3适合上式，
∴bn＝(4n−1)/(3n−1)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn＝(4n−1)/(3n−1)，
∴Tn＝(3)/(1)+(7)/(3)+(11)/(32)+…+(4n−5)/(3n−2)+(4n−1)/(3n−1) ①．
(1)/(3)Tn＝(3)/(3)+(7)/(32)+(11)/(33)+…+(4n−5)/(3n−1)+(4n−1)/(3n) ②．
①-②得，(2)/(3)Tn＝3+(4)/(3)+(4)/(32)+…+(4)/(3n−1)−(4n−1)/(3n)
=3+4•

(1)/(3)(1−(1)/(3作业帮用户2017-10-02举报问题解析（Ⅰ）在已知数列递推式中取n=n-1得另一递推式，两式作差后整理得到an-1=2n-1，则数列{an}的通项公式可求，把an代入3n•bn+1=（n+1）an+1-nan，整理后求得数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）由错位相减法求得数列{bn}的前n项和Tn，然后利用作差法说明{Tn}为递增数列，通过求解T3，T4的值得答案．名师点评本题考点：数列与不等式的综合．考点点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了数列递推式，训练了利用数列的前n项和求通项公式，考查了错位相减法求数列的和，求解（Ⅱ）的关键是说明数列{Tn}为递增数列，是中高档题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)