（2014•淄博三模）如图，已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x-4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y0≥1）作两条直线与⊙M相切于A、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距

Question

（2014•淄博三模）如图，已知抛物线C：y²=2px和⊙M：（x-4）²+y²=1，过抛物线C上一点H（x₀，y₀）（y₀≥1）作两条直线与⊙M相切于A、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为(17)/(4)．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；
（Ⅲ）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵点M到抛物线准线的距离为4+(p)/(2)=(17)/(4)，
∴p＝(1)/(2)，∴抛物线C的方程为y²=x．（2分）
（Ⅱ）法一：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴k_HE=-k_HF，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），∴(yH−y1)/(xH−x1)＝−(yH−y2)/(xH−x2)，∴(yH−y1)/(y2H−y21)＝−(yH−y2)/(y2H−y22)，
∴y₁+y₂=-2y_H=-4．（5分）
∴kEF＝(y2−y1)/(x2−x1)＝(y2−y1)/(y22−y21)＝(1)/(y2+y1)＝−(1)/(4)．（7分）
法二：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴∠AHB=60°，可得kHA＝√(3)，kHB＝−

作业帮用户 2017-09-21 举报

问题解析

（Ⅰ）利用点M到抛物线准线的距离为(17)/(4)，可得p＝(1)/(2)，从而可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）法一：根据当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），可得k_HE=-k_HF，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），可得y₁+y₂=-2y_H=-4，从而可求直线EF的斜率；
法二：求得直线HA的方程为y＝√(3)x−4√(3)+2，与抛物线方程联立，求出E，F的坐标，从而可求直线EF的斜率；
（Ⅲ）法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出直线HA的方程，直线HB的方程，从而可得直线AB的方程，令x=0，可得t＝4y0−(15)/(y0)(y0≥1)，再利用导数法，即可求得t的最小值．
法二：求以H为圆心，HA为半径的圆方程，⊙M方程，两方程相减，可得直线AB的方程，当x=0时，直线AB在y轴上的截距t＝4m−(15)/(m)（m≥1），再利用导数法，即可求得t的最小值．

名师点评

本题考点：

圆与圆锥曲线的综合；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；抛物线的标准方程．

考点点评：

本题以抛物线与圆的方程为载体，考查抛物线的标准方程，考查直线方程，同时考查利用导数法解决函数的最值问题，综合性较强．

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