（2014•阜阳一模）设A1、A2为椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得PO•PA2＝0，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．(0，12)B．(0，

Question

（2014•阜阳一模）设A₁、A₂为椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的左右顶点，若在椭圆上存在异于A₁、A₂的点P，使得

PO

•

PA2

＝0，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（　　）

A．(0， (1)/(2))
B．(0， (√(2))/(2))
C．((1)/(2)， 1)
D．((√(2))/(2)， 1)

Answer 1

A₁（-a，0），A₂（a，0），设P（x，y），则

PO

=（-x，-y），

PA 2

=（a-x，-y），
∵

PO

•

PA2

＝0，∴（a-x）（-x）+（-y）（-y）=0，y²=ax-x²＞0，∴0＜x＜a．
代入(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1，整理得（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0 在（0，a ）上有解，
令f（x）=（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0，∵f（0）=-a²b²＜0，f（a）=0，如图：
△=（a³）²-4×（b²-a²）×（-a²b²）=a²（ a⁴-4a²b²+4b⁴ ）=a²（a²-2c²）²≥0，
∴对称轴满足 0＜-(a3)/(2(b2−a2))＜a，即 0＜(a3)/(2(a2−b2))＜a，∴(a2)/(2c2)＜1，
(c2)/(a2)＞(1)/(2)，又  0＜(c)/(a)＜1，∴(√(2))/(2)＜(c)/(a)＜1，故选 D．