（2009•泰州模拟）如图，L型弯管有一柔软但不可被压缩（或拉伸）的长度为l的物体，其截面直径比L型弯管径略小（管径与物体的长度相比可以忽略），该物体可在L型弯管中移动，且物体

Question

（2009•泰州模拟）如图，L型弯管有一柔软但不可被压缩（或拉伸）的长度为l的物体，其截面直径比L型弯管径略小（管径与物体的长度相比可以忽略），该物体可在L型弯管中移动，且物体在弯角处移动时无能量损失．已知L型弯管的竖直部分光滑，水平部分与物体间的动摩擦因数为μ（μ＞1），且最大静摩擦力等于滑动摩擦力．现让物体在竖直外力作用下保持静止，设物体的上端离水平管的竖直距离为x．
（1）若物体的一部分在水平管中，撤去外力后，物体能在原位置保持静止，求此情况下x的取值范围．
（2）若物体全部在竖直管中，撤去外力后，物体能全部进入水平管中，求此情况下x的取值范围．
（3）若x=2μl，求撤去外力后物体右端进入水平管的距离．

Answer 1

（1）对水平管中的物体分析，物体能保持静止，有：mg(x)/(l)≤μmg(l−x)/(l)，
  解出x≤(μ)/(1+μ)l
（2）物体进入水平管时，摩擦力的大小与右端进入水平管的距离l′之间的关系是：Ff＝

μmg(l′)/(l)

μmg

l′＜l

l′≥l

，作出Ff−l′图：
从图中曲线和坐标轴所围的面积可以求出物体在进入水平管的过程中，克服阻力所做的功：Wf＝(1)/(2)μmgl．
减小的重力势能△E＝mg(x−(l)/(2))
能够全部进入管中，重力势能必大于或等于克服阻力所做的功，
即：mg(x−(l)/(2))≥(1)/(2)μmgl，解出x≥(μ+1)/(2)l．
（3）当x=2μl时，物体全部进入水平管中，设右端进入水平管的距离为l′，则物体克服阻力所做的功Wf＝(μmg(2l′−l))/(2)
减小的重力势能△E＝mg(x−(l)/(2))
由△E=W_f解出l′＝(5μl−l)/(2μ)
答：（1）x的取值范围为x≤(μ)/(1+μ)l．
（2）此情况下x的取值范围x≥(μ+1)/(2)l．
（3）撤去外力后物体右端进入水平管的距离l′＝(5μl−l)/(2μ)．