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(2014•南通模拟)数列{an},{bn}满足a1=b1,且对任意正整数n,{an}中小于等于n的项数恰为bn;{bn}中小于等于n的项数恰为an.(1)求a1;(2)求数列{an}的通项公式.
题目详情
(2014•南通模拟)数列{an},{bn}满足a1=b1,且对任意正整数n,{an}中小于等于n的项数恰为bn;{bn}中小于等于n的项数恰为an.
(1)求a1;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)求a1;
(2)求数列{an}的通项公式.
▼优质解答
答案和解析
(1)首先,容易得到一个简单事实:{an}与{bn}均为不减数列且an∈N,bn∈N.
若a1=b1=0,故{an}中小于等于1的项至少有一项,从而b1≥1,这与b1=0矛盾.
若a1=b1≥2,则{an}中没有小于或等于1的项,从而b1=0,这与b1≥2矛盾.
所以,a1=1
(2)假设当n=k时,ak=bk=k,k∈N*.
若ak+1≥k+2,因{an}为不减数列,故{an}中小于等于k+1的项只有k项,
于是bk+1=k,此时{bn}中小于等于k的项至少有k+1项(b1,b2,…,bk,bk+1),
从而ak≥k+1,这与假设ak=k矛盾.
若ak+1=k,则{an}中小于等于k的项至少有k+1项(a1,a2,…,ak,ak+1),
于是bk≥k+1,这与假设bk=k矛盾.
所以,ak+1=k+1.
所以,当n=k+1时,猜想也成立.
综上,由(1),(2)可知,an=bn=n对一切正整数n恒成立.
所以,an=n,即为所求的通项公式
若a1=b1=0,故{an}中小于等于1的项至少有一项,从而b1≥1,这与b1=0矛盾.
若a1=b1≥2,则{an}中没有小于或等于1的项,从而b1=0,这与b1≥2矛盾.
所以,a1=1
(2)假设当n=k时,ak=bk=k,k∈N*.
若ak+1≥k+2,因{an}为不减数列,故{an}中小于等于k+1的项只有k项,
于是bk+1=k,此时{bn}中小于等于k的项至少有k+1项(b1,b2,…,bk,bk+1),
从而ak≥k+1,这与假设ak=k矛盾.
若ak+1=k,则{an}中小于等于k的项至少有k+1项(a1,a2,…,ak,ak+1),
于是bk≥k+1,这与假设bk=k矛盾.
所以,ak+1=k+1.
所以,当n=k+1时,猜想也成立.
综上,由(1),(2)可知,an=bn=n对一切正整数n恒成立.
所以,an=n,即为所求的通项公式
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