早教吧作业答案频道 -->数学-->
(2014•南通模拟)数列{an},{bn}满足a1=b1,且对任意正整数n,{an}中小于等于n的项数恰为bn;{bn}中小于等于n的项数恰为an.(1)求a1;(2)求数列{an}的通项公式.
题目详情
(2014•南通模拟)数列{an},{bn}满足a1=b1,且对任意正整数n,{an}中小于等于n的项数恰为bn;{bn}中小于等于n的项数恰为an.
(1)求a1;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)求a1;
(2)求数列{an}的通项公式.
▼优质解答
答案和解析
(1)首先,容易得到一个简单事实:{an}与{bn}均为不减数列且an∈N,bn∈N.
若a1=b1=0,故{an}中小于等于1的项至少有一项,从而b1≥1,这与b1=0矛盾.
若a1=b1≥2,则{an}中没有小于或等于1的项,从而b1=0,这与b1≥2矛盾.
所以,a1=1
(2)假设当n=k时,ak=bk=k,k∈N*.
若ak+1≥k+2,因{an}为不减数列,故{an}中小于等于k+1的项只有k项,
于是bk+1=k,此时{bn}中小于等于k的项至少有k+1项(b1,b2,…,bk,bk+1),
从而ak≥k+1,这与假设ak=k矛盾.
若ak+1=k,则{an}中小于等于k的项至少有k+1项(a1,a2,…,ak,ak+1),
于是bk≥k+1,这与假设bk=k矛盾.
所以,ak+1=k+1.
所以,当n=k+1时,猜想也成立.
综上,由(1),(2)可知,an=bn=n对一切正整数n恒成立.
所以,an=n,即为所求的通项公式
若a1=b1=0,故{an}中小于等于1的项至少有一项,从而b1≥1,这与b1=0矛盾.
若a1=b1≥2,则{an}中没有小于或等于1的项,从而b1=0,这与b1≥2矛盾.
所以,a1=1
(2)假设当n=k时,ak=bk=k,k∈N*.
若ak+1≥k+2,因{an}为不减数列,故{an}中小于等于k+1的项只有k项,
于是bk+1=k,此时{bn}中小于等于k的项至少有k+1项(b1,b2,…,bk,bk+1),
从而ak≥k+1,这与假设ak=k矛盾.
若ak+1=k,则{an}中小于等于k的项至少有k+1项(a1,a2,…,ak,ak+1),
于是bk≥k+1,这与假设bk=k矛盾.
所以,ak+1=k+1.
所以,当n=k+1时,猜想也成立.
综上,由(1),(2)可知,an=bn=n对一切正整数n恒成立.
所以,an=n,即为所求的通项公式
看了(2014•南通模拟)数列{a...的网友还看了以下:
用6、0、8、9这几个数字写小数,每个小数中,4个数字要全用上,但不能重复用,最大的小数是我想知道 2020-04-27 …
在如图所的4个小到中建设3座大桥,任意两个小岛之间最多只建1座桥,求恰好将4个小岛连接起来的概率 2020-05-20 …
一个袋子中装有标着数字1,2,3,4的小球各两个,这8个小球大小质地均相同,现从袋子中任取4个小球 2020-06-03 …
袋中有6个不同的小球,其中红球1个,黄球2个,蓝球2个,白球1个,从中随机地抽取4个球1求恰有4种 2020-06-06 …
如图,小明、小华用4张扑克牌(方块2,黑桃4,黑桃5,梅花5)玩游戏,他俩将扑克牌洗匀后,背面朝上 2020-06-13 …
(本小题满分12分)将编号为1,2,3,4的四张同样材质的卡片,随机放入编码分别为1,2,3,4的 2020-06-15 …
请详解,感激不尽!将编号为1,2,3,4,5的五个同质小球,随机地放入编号为1,2,3,4,5的五个 2020-11-08 …
一个袋子装有标有数字1234的小球各2个一个袋子中装有标着数字1,2,3,4的小球各两个,这8个小球 2020-11-17 …
抽屉中有10只外观一样的手表,其中有3只是坏的,现从抽屈中随机地抽取4只,那么16等于()A.恰有1 2020-12-14 …
解一个关于概率的数学题,急得很!将编号为1,2,3,4的四张同样材质的卡片,随机放入编码分别为1,2 2021-02-20 …