（2011•镇江一模）过圆O外一点A作圆O的两条切线AT、AS，切点分别为T、S，过点A作圆O的割线APN，证明：AT2AN2=PT•PSNT•NS．

Question

（2011•镇江一模）过圆O外一点A作圆O的两条切线AT、AS，切点分别为T、S，过点A作圆O的割线APN，证明：(AT2)/(AN2)=(PT•PS)/(NT•NS)．

Answer 1

证明：∵AT为圆O的切线，
∴∠ATP=∠ANT，∵∠APN=∠PTN+∠ANT，∠ATN=∠ATP+∠PTN，
∴∠ATN=∠APT，∴△ATN∽△APT，…3分
∴(AT)/(AP)=(AN)/(AT)=(TN)/(PT)，…4分
∴同理可得△ASN∽△APS，
∴(AS)/(AP)= (AN)/(AS)=(SN)/(PS)，…6分
∴(TN•SN)/(PT•PS)=(AT•AS)/(AP2)=(AT2)/((AT4)/(AN2))=(AN2)/(AT2)；…8分
故(AT2)/(AN2)=(PT•PS)/(NT•NS)…10分