（2014•宿迁一模）已知函数f（x）=x3+52x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f

Question

（2014•宿迁一模）已知函数f（x）=x³+(5)/(2)x²+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x₀，使得f（x₀）=x₀与f′（x₀）=0同时成立，求实数b的取值范围；
（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l₁与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l₂，设切线l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂．问：是否存在常数λ，使得k₂=λk₁？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当a=-2时，函数f（x）=x³+(5)/(2)x²-2x+b
则f′（x）=3x²+5x-2=（3x-1）（x+2）
令f′（x）＜0，解得-2＜x＜(1)/(3)，
所以f（x）的单调递减区间为（-2，(1)/(3)）；
（2）函数f（x）的导函数为由于存在唯一的实数x₀，使得f（x₀）=x₀与f′（x₀）=0同时成立，
则

x3+(5)/(2)x2+(a−1)x+b＝0

3x2+5x+a＝0

即x³+(5)/(2)x²+（-3x²-5x-1）x+b=0存在唯一的实数根x₀，
故b=2x³+(5)/(2)x²+x存在唯一的实数根x₀，
令y=2x³+(5)/(2)x²+x，则y′=6x²+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=-(1)/(2)或x=-(1)/(3)，
则函数y=2x³+(5)/(2)x²+x在（-∞，−(1)/(2)），（-(1)/(3)，+∞）上是增函数，在（−(1)/(2)，-(1)/(3)）上是减函数，
由于x=-(1)/(2)时，y=-(1)/(8)；x=-(1)/(3)时，y=-(7)/(54)；
故实数b的取值范围为：（-∞，-(7)/(54)）∪（-

作业帮用户 2017-10-06 举报

问题解析

（1）先求原函数的导数，根据f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；
（2）由于存在唯一的实数x₀，使得f（x₀）=x₀与f′（x₀）=0同时成立，则

(1)/(8)

x3+(5)/(2)x2+(a−1)x+b＝0

3x2+5x+a＝0

存在唯一的实数根x₀，即b=2x³+(5)/(2)x²+x存在唯一的实数根x₀，就把问题转化为求函数最值问题；
（3）假设存在常数λ，依据曲线C在点A处的切线l₁与曲线C交于另一点B，曲线C在点B处的切线l₂，得到关于λ的方程，有解则存在，无解则不存在．

名师点评

本题考点：

利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：

本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时还考查了方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决．

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