（2014•盐城三模）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右准线l：x=955，离心率e=53，A，B是椭圆上的两动点，动点P满足OP=OA+λOB，（其中λ为常数）．（1）求椭圆标准方程；（2）当λ=1且直线AB与OP

Question

（2014•盐城三模）已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的右准线l：x=(9√(5))/(5)，离心率e=(√(5))/(3)，A，B是椭圆上的两动点，动点P满足

OP

=

OA

+λ

OB

，（其中λ为常数）．
（1）求椭圆标准方程；
（2）当λ=1且直线AB与OP斜率均存在时，求|k_AB|+|k_OP|的最小值；
（3）若G是线段AB的中点，且k_OA•k_OB=k_OG•k_AB，问是否存在常数λ和平面内两定点M，N，使得动点P满足PM+PN=18，若存在，求出λ的值和定点M，N；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的右准线l：x=(9√(5))/(5)，离心率e=(√(5))/(3)，
∴

(a2)/(c)=(9√(5))/(5)

(c)/(a)=(√(5))/(3)

，解得a=3．c=√(5)．
又b²=a²-c²，∴b²=4．
∴椭圆标准方程为(x2)/(9)+(y2)/(4)=1．…（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

作业帮用户 2016-11-27 举报

问题解析

（1）由已知条件推导出

(a2)/(c)=(9√(5))/(5)

(c)/(a)=(√(5))/(3)

，由此能求出椭圆标准方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OP

=

OA

+

OB

，得P（x₁+x₂，y₁+y₂），从而求出k_AB•k_OP=-(4)/(9)．由此能求出|k_AB|+|k_OP|的最小值．
（3）由已知条件推导出4x₁x₂+9y₁y₂=0，设P（x，y），由

OP

=

OA

+λ

OB

，得到x=x₁+λx₂，y=y₁+λy₂．利用点差法能求出4x²+9y²=36+36λ²．由此能求出λ=±2√(2)，M(3√(5)，0)，N(-3√(5)，0)．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查椭圆方程的求法，考查两线段和的最小值的求法，考查满足条件的实数值和定点坐标是否存在的判断与求解，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．

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