高中数学有关圆的问题条件:(1)截y轴长为2.（2）被x轴分成两段圆弧,其弧长之比为3:1在满足(1)(2)的所有的圆中,求圆心到直线l：x-2y=0距离最小时圆的方程.麻烦解答时可以给出详细的过程.谢谢

Question

高中数学有关圆的问题
条件:(1)截y轴长为2.（2）被x轴分成两段圆弧,其弧长之比为3:1在满足(1)
(2)的所有的圆中,求圆心到直线l：x-2y=0距离最小时圆的方程.
麻烦解答时可以给出详细的过程.谢谢

Answer 1

(x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2
x=0时,y=y0±√(r^2-x0^2),|y1-y2|=2√(r^2-x0^2)=2
∴r^2-x0^2=1 （1）
弧长之比为3:1
∴|r/y0|=√2
r^2=2y0^2
结合(1) 2y0^2-x0^2=1 （2）
圆心的轨迹方程为2y^2-x^2=1,为双曲线
设与l平行且与双曲线相切的直线为x-2y=a （3）
将(3)代入(2) 整理得2y^2+4ay+a^2+1=0
判别式=16a^2-4*2*(a^2+1)=8a^2-8=0
a=±1
切点即可求出
a=1时 2y^2+4y+2=0 y=-1 代入(3)得x=-1
a=-1时 同理可得y=1,x=1
r=√2|y0|=√2
x0=±1,y0=±1
∴圆方程为(x±1)^2+(y±1)^2=2