（2014•达州二模）已知函数f（x）=x2+bx-alnx．（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，1是函数f（x）的零点，求a，b．（Ⅱ）对∀b∈[-2，-1]，都有∃x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）

Question

（2014•达州二模）已知函数f（x）=x²+bx-alnx．
（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，1是函数f（x）的零点，求a，b．
（Ⅱ）对∀b∈[-2，-1]，都有∃x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．求实数a的取值范围．
（Ⅲ）若a=-1时，函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁∈（0，(1)/(2)）求证：f（x₁）-f（x₂）＞(3)/(4)-ln2．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=2x+b-ax（x＞0），∵x=2是函数f（x）的极值点，∴f′（2）=4+b-a2=0．∵1是函数f（x）的零点，得f（1）=1+b=0，由4+b−a2＝01+b＝0，解得a=6，b=-1．（Ⅱ）令g（b）=xb+x2-alnx，b∈[-2，-1]，则g（b...