在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x=a+acosφy=asinφ（φ为参数，实数a>0），曲线C2：x=bcosφy=b+bsinφ（φ为参数，实数b>0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0

Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁：

x=a+acosφ

y=asinφ

（φ为参数，实数a>0），曲线C₂：

x=bcosφ

y=b+bsinφ

（φ为参数，实数b>0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤(π)/(2)）与C₁交于O、A两点，与C₂交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=(π)/(2)时，|OB|=2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求2|OA|²+|OA|•|OB|的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由曲线C₁：

x=a+acosφ

y=asinφ

（φ为参数，实数a>0），
化为普通方程为（x-a）²+y²=a²，展开为：x²+y²-2ax=0，
其极坐标方程为ρ²=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由题意可得当θ=0时，|OA|=ρ=1，∴a=(1)/(2)．
曲线C₂：

x=bcosφ

y=b+bsinφ

（φ为参数，实数b>0），
化为普通方程为x²+（y-b）²=b²，展开可得极坐标方程为ρ=2bsinθ，
由题意可得当θ=(π)/(2)时，|OB|=ρ=2，∴b=1．
（Ⅱ）由（I）可得C₁，C₂的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．
∴2|OA|²+|OA|•|OB|=2cos²θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=√(2)sin(2θ+(π)/(4))+1，
∵2θ+(π)/(4)∈[(π)/(4)，(5π)/(4)]，∴√(2)sin(2θ+(π)/(4))+1的最大值为√(2)+1，
当2θ+(π)/(4)=(π)/(2)时，θ=(π)/(8)时取到最大值．