（2010•内江三模）如图所示，固定在上、下两层水平面上的平行金属导轨MN、M′N′和OP、O′P′间距都是l，二者之间固定两组竖直半圆形轨道PQM和P′Q′M′，两轨道间距也均为l，且PQM和P′Q

Question

（2010•内江三模）如图所示，固定在上、下两层水平面上的平行金属导轨MN、M′N′和OP、O′P′间距都是l，二者之间固定两组竖直半圆形轨道PQM和P′Q′M′，两轨道间距也均为l，且PQM和P′Q′M′的竖直高度均为4R，两个半圆形轨道的半径均为R．轨道的QQ′端、MM′端的对接狭缝宽度可忽略不计，图中的虚线为绝缘材料制成的固定支架，能使导轨系统位置固定．将一质量为m的金属杆沿垂直导轨方向放在下层金属导轨的最左端OO′位置，金属杆在与水平成θ角斜向上的恒力作用下沿导轨运动，运动过程中金属杆始终与导轨垂直，且接触良好．当金属杆通过4R距离运动到导轨末端PP′位置时其速度大小v_P=4√(gR)．金属杆和导轨的电阻、金属杆在半圆轨道和上层水平导轨上运动过程中所受的摩擦阻力，以及整个运动过程中所受空气阻力均可忽略不计．

（1）已知金属杆与下层导轨间的动摩擦因数为μ，求金属杆所受恒力F的大小；
（2）金属杆运动到PP′位置时撤去恒力F，金属杆将无碰撞地水平进入第一组半圆轨道PQ和P′Q′，又在对接狭缝Q和Q′处无碰撞地水平进入第二组半圆形轨道QM和Q′M′的内侧，求金属杆运动到半圆轨道的最高位置MM′时，它对轨道作用力的大小；
（3）若上层水平导轨足够长，其右端连接的定值电阻阻值为r，导轨处于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中．金属杆由第二组半圆轨道的最高位置MM′处，无碰撞地水平进入上层导轨后，能沿上层导轨滑行．求金属杆在上层导轨上能滑行的最大距离．

Answer 1

（1）导体棒加速过程中，重力和支持力不做功，只有拉力和摩擦力做功，拉力做功为W₁=F•4R•cosθ，摩擦力为F_f=μF_N=μ（mg-Fsinθ），
故摩擦力做功为W₂=-μ（mg-Fsinθ）•4R
根据动能定理W=△E_k，有F•4R•cosθ−μ(mg−Fsinθ)•4R＝(1)/(2)mvP2
解得F＝((2+μ)mg)/(cosθ+μsinθ)
（2）设金属杆从PP′位置运动到轨道最高点位置MM′时的速度为v₁，此过程根据机械能守恒定律有(1)/(2)mvP2＝4mgR+(1)/(2)mv12
解得v1＝√(8gR)
设金属杆MM′位置所受轨道压力为F_M，根据牛顿第二定律，有FM+mg＝m(v12)/(R)
解得F_M=7mg
由牛顿第三定律可知，金属杆对轨道压力的大小F′_M=7mg
故金属杆运动到半圆轨道的最高位置MM'时，它对轨道作用力的大小为7mg．
（3）金属杆在上层导轨上滑行时由于安培力作用而最终静止．设运动时间为△t
根据动量定理BIL•△t=mv₁
即Blq=mv₁
则q＝(mv1)/(Bl)
根据闭合电路欧姆定律，有

.

I

＝(.E)/(r)
根据法拉第电磁感应定律，有

.

E

＝(△Φ)/(△t)＝(Blx)/(△t)
而q＝

.

I

•△t＝(Blx)/(r)
由此可得x=(mr√(8gR))/(B2l2)
答：（1）金属杆所受恒力F的大小为

作业帮用户 2016-11-17 举报

问题解析

（1）直线加速过程，受到拉力、重力、支持力和滑动摩擦力，对直线加速过程运用动能定理列式求解；
（2）导体棒沿着圆弧型光滑轨道上滑过程，只有重力做功，机械能守恒，根据守恒定律列式求解出最高点速度，然后根据向心力公式和牛顿第二定律列式求解出导体棒所受压力，最后根据牛顿第三定律求解棒对轨道的压力；
（3）对减速过程运用法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、动量定理列式后联立求解．

名师点评

本题考点：

导体切割磁感线时的感应电动势；向心力；动能定理；法拉第电磁感应定律．

考点点评：

本题关键是明确导体棒运动过程中的能量变化情况，然后多次运用动能定理、机械能守恒定律、动量定理列式求解．

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