（2011•南充二模）已知函数f（x）=ln（ex+1）-ax（a∈R）．①若曲线y=f（x）在x=0处与直线x+y=b相切，求a，b的值；②设x∈[-ln2，0]时，f（x）在x=0处取得最大值，求实数a的取值范围．

Question

（2011•南充二模）已知函数f（x）=ln（e^x+1）-ax（a∈R）．
①若曲线y=f（x）在x=0处与直线x+y=b相切，求a，b的值；
②设x∈[-ln2，0]时，f（x）在x=0处取得最大值，求实数a的取值范围．

Answer 1

①∵f（x）=ln（e^x+1）-ax，∴f′（x）=(ex)/(ex+1)-a，
依题意，曲线y=f（x）与直线x+y=b相切于（0，b），
所以f′（0）=(1)/(2)-a=-1，b=f（0）=ln2，
∴a=(3)/(2)，b=ln2；
②当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在[-ln2，0]上单调递增，在x=0处取得最大值；
当a≥1时，f′（x）＜0，f（x）在[-ln2，0]上单调递减，不在x=0处取得最大值；
当0＜a＜1时，f′（x）＞0，得x＞ln(a)/(1−a)；f′（x）＜0，得x＜ln(a)/(1−a)，
所以f（x）在（-∞，ln(a)/(1−a)）单调递减，在（ln(a)/(1−a)，+∞）单调递增．
此时f（x）在x=0或x=-ln2处取得最大值，
所以当且仅当f（0）≥f（-ln2），
即ln2≥ln(3)/(2)+aln2时，f（x）在x=0处取得最大值，
此时解得0＜a≤2-log₂3．
综上，a的取值范围是（-∞，2-log₂3]．