（2013•乐山一模）已知函数f（x）=ln（1+x）-mx．（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，e2-1]上恰有两个零点，求m的取值范

Question

（2013•乐山一模）已知函数f（x）=ln（1+x）-mx．
（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，e²-1]上恰有两个零点，求m的取值范围．

Answer 1

（I）依题意，函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
当m=1时，f（x）=ln（1+x）-x，∴f′(x)＝(1)/(1+x)−1…（2分）
由f'（x）＜0得(1)/(1+x)−1＜0，即(−x)/(1+x)＜0，解得x＞0或x＜-1，
又∵x＞-1，∴x＞0，∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．                  …（4分）
（II）求导数可得f′(x)＝(1)/(1+x)−m，（x＞-1）
（1）m≤0时，f'（x）≥0恒成立，∴f（x）在（-1，+∞）上单调递增，无极值．…（6分）
（2）m＞0时，由于(1)/(m)−1＞−1，所以f（x）在(−1， (1)/(m)−1]上单调递增，在[(1)/(m)−1， +∞)上单调递减，
从而f(x)极大值＝f((1)/(m)−1)＝m−lnm−1．      …（9分）
（III）由（II）问显然可知，
当m≤0时，f（x）在区间[0，e²-1]上为增函数，∴在区间[0，e²-1]不可能恰有两个零点．      …（10分）
当m＞0时，由（II）问知f（x）_极大值=f((1)/(m)−1)，
又f（0）=0，∴0为f（x）的一个零点．         …（11分）
∴若f（x）在[0，e²-1]恰有两个零点，只需

f(e2−1)≤0

0＜(1)/(m)−1＜e2−1

即

2−m(e2−1)≤0 (1)/(e2)＜m＜1

作业帮用户 2017-11-08 举报 问题解析 （I）确定函数f（x）的定义域，求导函数，利用f'（x）＜0，可得f（x）的单调递减区间； （II）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极值； （III）由（II）问可知，当m≤0时，在区间[0，e2-1]不可能恰有两个零点；当m＞0时，利用0为f（x）的一个零点，结合f（x）在[0，e2-1]恰有两个零点，建立不等式，即可求m的取值范围． 名师点评 本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 扫描下载二维码 ©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议