（2013•绵阳二模）我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线x24−y212＝1与双曲线x2m−y2n＝1是“相近双曲线”，则nm的取值范围是[421，45]∪[54，214][421

Question

（2013•绵阳二模）我们把离心率之差的绝对值小于(1)/(2)的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线(x2)/(4)−(y2)/(12)＝1与双曲线(x2)/(m)−(y2)/(n)＝1是“相近双曲线”，则(n)/(m)的取值范围是

[(4)/(21)，(4)/(5)]∪[(5)/(4)，(21)/(4)]

[(4)/(21)，(4)/(5)]∪[(5)/(4)，(21)/(4)]

．

Answer 1

双曲线(x2)/(4)−(y2)/(12)＝1的离心率为e₁=2，
①当m＞0，n＞0时，双曲线(x2)/(m)−(y2)/(n)＝1的离心率为e₂=(√(m+n))/(√(m))=√(1+(n)/(m))，
由题意得|√(1+(n)/(m))-2|＜(1)/(2)，解得(5)/(4)＜(n)/(m)＜(21)/(4)；
②当m＜0，n＜0时，双曲线(x2)/(m)−(y2)/(n)＝1即：−(x2)/(−m)+(y2)/(−n)＝1的离心率为e₂=

作业帮用户 2017-09-28 举报

问题解析

根据双曲线的几何性质求得双曲线的离心率，再由“相近双曲线”，得到关于(n)/(m)的不等式，解不等式求出离心率的范围．

名师点评

本题考点：

双曲线的简单性质．

考点点评：

本题考查双曲线线标准方程以及双曲线的简单性质的应用，得到关于(n)/(m)的不等式是解题的关键，属于中档题．

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