（2012•绵阳模拟）如图所示，两根足够长、电阻不计、间距为d的光滑平行金属导轨，其所在平面与水平面夹角为θ，导轨平面内的矩形区域abcd内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小b方向垂

Question

（2012•绵阳模拟）如图所示，两根足够长、电阻不计、间距为d的光滑平行金属导轨，其所在平面与水平面夹角为θ，导轨平面内的矩形区域abcd内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小b方向垂直于斜面向上，ab与cd之间相距为L₀金属杆甲、乙的阻值相同，质量均为m，甲杆在磁场区域的上边界ab处，乙杆在甲杆上方与甲相距L处，甲、乙两杆都与导轨垂直．静止释放两杆的同时，在甲杆上施加一个垂直于杆平行于导轨的外力F，使甲杆在有磁场的矩形区域内向下做匀加速直线运动，加速度大小a=2gsinθ甲离开磁场时撤去F，乙杆进入磁场后恰好做匀速运动，然后离开磁场．
（1 ）求每根金属杆的电阻R是多大？
（2 ）从释放金属杆开始计时，求外力F随时间t的变化关系式？并说明F的方向．
（3 ）若整个过程中，乙金属杆共产生热量Q，求外力F对甲金属杆做的功W是多少？

Answer 1

（1）设甲在磁场区域abcd内运动时间为t₁，乙从开始运动到ab位置的时间为t₂，则
L＝(1)/(2)•2gsinθt12，L=(1)/(2)•gsinθt22

t1＝√((L)/(gsinθ))，t2＝√((2L)/(gsinθ))
t₁＜t₂，即甲离开磁场时，乙还没有进入磁场．
设乙进入磁场时的速度为v₁，乙中的感应电动势为E₁，回路中的电流为I₁，则
v1＝√(2gLsinθ)
E₁=Bdv₁
I₁=(E1)/(2R)
mgsinθ=BI₁d
解得R＝(B2d2)/(2m)√((2L)/(gsinθ))．
（2）从释放金属杆开始计时，设经过时间t，甲的速度为v，甲中的感应电动势为E，回路中的电流为I，外力为F，则
v=at
E=Bdv
I=(E)/(2R)
F+mgsinθ-BId=ma
a=2gsinθ
解得F＝mgsinθ+mgsinθ√((2gsinθ)/(L))•t （0≤t≤√((L)/(gsinθ))）
方向垂直于杆平行于导轨向下．
（3）甲在磁场中运动过程中，乙没有进入磁场，设甲离开磁场时速度为v₀，乙沿导轨运动的距离是x，甲、乙产生的热量相同，设分别为Q₁，则
v02＝2aL．
W+mgLsinθ＝2Q1+(1)/(2)mv02
解得W=2Q₁+mgLsinθ
乙在磁场中运动过程中，甲乙产生相同的热量，设分别为Q₂，则
2Q₂=mgLsinθ
根据题意有Q=Q₁+Q₂
解得 W=2Q．
答：（1）每根金属杆的电阻R＝(B2d2)/(2m)√((2L)/(gsinθ))．
（2）外力F随时间t的变化关系为F＝mgsinθ+mgsinθ√((2gsinθ)/(L))•t （0≤t≤√((L)/(gsinθ))），方向垂直于杆平行于导轨向下．
（3）外力F对甲金属杆做的功W是2Q．