（2013•东莞一模）如图，AA1、BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA1、CB1的中点，DE⊥面CBB1．（1）证明：DE∥面ABC；（2）证明：面A1B1C⊥面A1AC；（3）求四棱锥C-ABB1A1与圆柱OO1

Question

（2013•东莞一模）如图，AA₁、BB₁为圆柱OO₁的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA₁、CB₁的中点，DE⊥面CBB₁．
（1）证明：DE∥面ABC；
（2）证明：面A₁B₁C⊥面A₁AC；
（3）求四棱锥C-ABB₁A₁与圆柱OO₁的体积比．

Answer 1

（1）连结EO、OA，
∵E、O分别为B₁C、BC的中点，∴EO∥BB₁，EO=(1)/(2)BB₁
又∵AA₁、BB₁为圆柱OO₁的母线，
∴AA₁∥BB₁、AA₁=BB₁，可得四边形AA₁B₁B是平行四边形，
∵平行四边形AA₁B₁B中，DA∥BB₁，DA=(1)/(2)BB₁，
∴DA∥EO，且DA=EO
四边形AOED是平行四边形，可得DE∥OA
∵DE⊄面ABC，OA⊂面ABC，∴DE∥面ABC；…（4分）
（2）∵AA₁、BB₁为圆柱OO₁的母线，
∴四边形AA₁B₁B是平行四边形，可得AB∥A₁B₁
∵AA₁⊥圆O所在的平面，AB⊂圆O所在的平面，∴AA₁⊥AB，
又∵BC是底面圆O的直径，∴AB⊥AC，
∵AC∩AA₁=A，AC、AA₁⊂面A₁AC，AB⊥面A₁AC，
∵AB∥A₁B₁，∴A₁B₁⊥面A₁AC，
∵A₁B₁⊂面A₁B₁C，∴面A₁B₁C⊥面A₁AC；…（9分）
（3）由题意，DE⊥面CBB₁，由（1）知DE∥OA，
∴OA⊥面CBB₁，∴结合BC⊂面CBB₁，可得AO⊥BC，得AC=AB．
∵AB⊥AC且AA₁⊥AC，AB、AA₁是平面AA₁B₁B内的相交直线，
∴AC⊥平面AA₁B₁B，即AC为四棱锥C-ABB₁A₁的高．
设圆柱高为h，底半径为r，则V_圆柱=πr²h，V_四棱锥=(1)/(3)（√(2)r）•（√(2)r）h=(2)/(3)hr2，
∴四棱锥C-ABB₁A₁与圆柱OO₁的体积比为((2)/(3)hr2)/(πr2h)=(2)/(3π)．…（14分）