（2012•韶关二模）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c=2，且cosAcosB＝ba＝31．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）如图，设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧AC上，求△PAC面

Question

（2012•韶关二模）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c=2，且(cosA)/(cosB)＝(b)/(a)＝(√(3))/(1)．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）如图，设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧

AC

上，求△PAC面积最大值．

Answer 1

（1）证明：由正弦定理得(cosA)/(cosB)＝(sinB)/(sinA)，…（2分）
整理为sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，…（3分）
又因为0＜2A、2B＜2π，
∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B＝(π)/(2)．…（6分）
∵(b)/(a)＝(√(3))/(1)，∴A=B舍去，故A+B＝(π)/(2)，
由A+B＝(π)/(2)可知C＝(π)/(2)，∴△ABC是直角三角形．…（6分）
（2）由（1）及c=2，及勾股定理得a=1，b＝√(3)，…（7分）
设∠PAB＝θ((π)/(6)＜θ＜(π)/(2))，则∠PAC＝θ−(π)/(6)，…（8分）
在Rt△PAB中，PA=AB•cosθ=2cosθ
所以S△PAC＝(1)/(2)PA•AC•sin(θ−(π)/(6))＝(1)/(2)•2•cosθ•√(3)•sin(θ−(π)/(6))=√(3•)cosθ•sin(θ−(π)/(6))…（10分）
=√(3)cosθ(sinθ•(√(3))/(2)−cosθ•(1)/(2))=(3)/(2)cosθsinθ−(√(3))/(2)cos2θ
=(3)/(4)sin2θ−(√(3))/(2)×(1+cos2θ)/(2)=(√(3))/(2)((√(3))/(2)sin2θ−(1)/(2)cos2θ)−(√(3))/(4)=(√(3))/(2)sin(2θ−(π)/(6))−(√(3))/(4)…（12分）
因为(π)/(6)＜θ＜(π)/(2)
所以(π)/(6)＜2θ−(π)/(6)＜(5π)/(6)，
当2θ−(π)/(6)＝(π)/(2)，即θ＝(π)/(3)时，S_△PAC最大值等于(√(3))/(4)．…（14分）