（2014•梅州二模）如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1，底面ABCD为菱形，∠ADC=120°，E为CC1延长线上一点．（1）当CE=2CC1时，证明：A1E∥平面B1AD；（2）是否存在实数λ，当CE=λCC1时，使得

Question

（2014•梅州二模）如图，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁，底面ABCD为菱形，∠ADC=120°，E为CC₁延长线上一点．
（1）当CE=2CC₁时，证明：A₁E∥平面B₁AD；
（2）是否存在实数λ，当CE=λCC₁时，使得平面EB₁D₁⊥平面A₁BD？若存在，求出λ的值；若不存在请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，且ABCD是菱形，
∴B₁C₁∥A₁D₁，且B₁C₁=A₁D₁，AD∥A₁D₁且AD=A₁D₁，
∴B₁C₁∥AD且AD=B₁C₁，∴四边形AB₁C₁D是平行四边形，
∴A，B₁，C₁，D四点共面，
平面B₁AD与平面AB₁C₁D是同一个平面…（2分）
连结AC₁，∵A₁A∥CC₁且A₁A=CC₁，EC₁=CC₁，
∴EC₁∥A₁A，且EC₁=A₁A，…（4分）
∴四边形AC₁EA₁是平行四边形，∴A₁E∥AC₁，
又A₁E不包含于平面B₁AD，AC₁⊂平面B₁AD，
∴A₁E∥平面B₁AD．…（6分）
（2）取AB的中点Q，连接DQ，
∵∠ADC=120°，∴∠DAC=60°，
∴△DAB是正三角形，∴DQ⊥AB，AB∥DC，
∴DQ⊥DC，∴D₁D⊥平面ABCD，
从而D₁D，DC，DQ两两垂直，以DC为x轴，DQ为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系O-xyz（如图所示），设AB=2．…（7分）
则B（1，√(3)，0），D（0，0，0），A1(−1，√(3)，2)，B1(1，√(3)，2)，
∴

DB

＝(1，√(3)，0)，

DA1

＝(−1，√(3)，2)，D₁（0，0，2），E（2，0，2