（2014•佛山二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-1（n∈N*），数列{bn}满足b1=1，nbn+1=（n+1）bn，（n∈N*）（1）求数列{an}和{bn}的通项公式．（2）数列{bn}的前n项和为Qn，且Tn=Sn+Qn是否

Question

（2014•佛山二模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-1（n∈N^*），数列{b_n}满足b₁=1，nb_n+1=（n+1）b_n，（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（2）数列{b_n}的前n项和为Q_n，且T_n=S_n+Q_n是否存在常数λ，使得对任意正整数n，不等式λT_n≥T_n+1恒成立？若存在，求λ的最小值，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）令n=1，得a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2（a_n-a_n-1），
整理，得a_n=2a_n-1，
∴an＝2n−1．
∵数列{b_n}满足b₁=1，nb_n+1=（n+1）b_n，
∴(bn+1)/(n+1)＝(bn)/(n)，
∴{(bn)/(n)}是首项为1的常数列，∴(bn)/(n)＝1，
∴b_n=n．
（2）∵数列{b_n}的前n项和为Q_n，
∴Qn＝1+2+3+…+n＝(n(n+1))/(2)，
∵T_n=S_n+Q_n，
∴T_n=2•2n−1−1+(n(n−1))/(2)=2n−1+(n(n+1))/(2)，
当n=1时，λT₁≥T₂，得λ≥3，
当n=2时，λT₂≥T₃，得λ≥(13)/(6)，
猜想：当λ≥3时，3T_n≥T_n+1．
证明：3Tn−Tn+1＝3[2n−1+(n(n+1))/(2)]-[2n+1−1+((n+1)(n+2))/(2)]
=2ⁿ+n-3≥0．
综上所述，λ存在最小值3，使不等式λT_n≥T_n+1成立．