（2010•汕头模拟）已知已知函数f(x)＝x2x+1，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{1an}是等差数列；（Ⅱ）记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，试比较2Sn与1的大小．

Question

（2010•汕头模拟）已知已知函数f(x)＝(x)/(2x+1)，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{(1)/(an)}是等差数列；
（Ⅱ）记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，试比较2S_n与1的大小．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得，an+1＝(an)/(2an+1)，
∴(1)/(an+1)＝(1)/(an)+2，即(1)/(an+1)−(1)/(an)＝2．
∴数列{(1)/(an)}是首项，公差d=2的等差数列．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知(1)/(an)＝1+(n−1)×2＝2n−1，
∴an＝(1)/(2n−1)(n∈N*)，（8分）
∴anan+1＝(1)/((2n−1)(2n+1))＝(1)/(2)((1)/(2n−1)−(1)/(2n+1))，（10分）
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃++a_na_n+1=(1)/(1×3)+(1)/(3×5)++(1)/((2n−1)(2n+1))
=(1)/(2)[(1−(1)/(3))+((1)/(3)−(1)/(5))++((1)/(2n−1)−(1)/(2n+1))]=(1)/(2)(1−(1)/(2n+1))＝(n)/(2n+1)．（14分）
∴2Sn−1＝(2n)/(2n+1)−1＝(−1)/(2n+1)＜0（n∈N^*），∴2S_n＜1．（16分）