（2013•汕头一模）如图所示的几何体为一简单组合体，其底面ABCD为矩形，PD丄平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC．（1）若N为线段PB的中点，求证：NE⊥PD（2）若矩形ABCD的周长为10，PD=2，求该简单组

Question

（2013•汕头一模）如图所示的几何体为一简单组合体，其底面ABCD为矩形，PD丄平面ABCD，EC∥PD，且 PD=2EC．
（1）若N为线段PB的中点，求证：NE⊥PD
（2）若矩形ABCD的周长为10，PD=2，求该简单组合体的体积的最大值．

Answer 1

证明：（1）连接AC、BD相较于点F，则F为BD的中点，连接NF．
又N为PB的中点，∴NF

∥

.

(1)/(2)PD．
又∵EC∥PD，且 PD=2EC．
∴NF

∥

.

EC，
∴四边形NFCE为平行四边形，
∴NE∥FC．
∵PD丄平面ABCD，∴PD⊥FC．
∴PD⊥NE．
（2）该几何体可以看成是由三棱锥P-ABD和四棱锥B-PDCE组合而成，
∵PD⊥平面ABCD，且底面是周长为10的矩形，
设AB=x，（0＜x＜5）．则CD=x，AD=BC=5-x．
∴S△ABD＝(1)/(2)AD×AB=(1)/(2)x(5−x)
V_P-ABD=(1)/(3)SABD×PD=(1)/(3)×(1)/(2)x(5−x)×2=(1)/(3)x(5−x)．
∵PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，CD⊥PD．
又∵BC⊥CD，PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDCE．
∴V_B-PDCE=(1)/(3)×S梯形PDCE×BC=(1)/(3)×(1)/(2)(PD+CE)×CD×BC=(1)/(3)×(1)/(2)×(1+2)x(5−x)=(1)/(2)x(5−x)．
∴V_P-ABCD=V_P-ABD+V_B-PDCE=(1)/(3)x(5−x)+(1)/(2)x(5−x)
=(5)/(6)x(5−x)≤(5)/(6)((x+5−x)/(2))2=(125)/(24)．当且仅当x=5-x，0＜x＜5，解得x=(5)/(2)时取等号．
∴该简单组合体的 体积的最大值是(125)/(24)．