已知函数f(x)=inx-a(x*X)-x,a属于R（1）若函数y=f(x)在其定义域内是单调增函数.求a的取值范围(2)设函数y=f(x)的图像被点P（2,f(2)）分成的两部分为C1,C2（点P除外）,该函数图象在点P处的切线为L且C1

Question

已知函数f(x)=inx-a(x*X)-x,a属于R
（1）若函数y=f(x)在其定义域内是单调增函数.求a的取值范围
(2)设函数y=f(x)的图像被点P（2,f(2)）分成的两部分为C1,C2（点P除外）,该函数图象在点P处的切线为L且C1、C2分别完全位于直线L的两侧,试求所有满足条件的a的值.

Answer 1

(1)f(x)=lnx-ax^2-x,x>0,
f'(x)=1/x-2ax-1=-(2ax^2+x-1)/x>=0,
∴2ax^2+x-1<=0对x>0恒成立,
∴a<0,且1+8a<=0,
解得a<=-1/8.
(2)f(2)=ln2-4a-2,f'(2)=-(8a+1)/2,
切线L:y-(ln2-4a-2)=-(8a+1)(x-2)/2,即y=ln2-4a-2-(8a+1)(x-2)/2,
C1、C2分别完全位于直线L的两侧,
<==>g(x)=ln2-4a-2-(8a+1)(x-2)/2-f(x)在02都保号,且异号,
g'(x)=-(8a+1)/2-f'(x)=[4ax^2+(1-8a)x-2]/(2x)=(x-2)(4ax+1)/(2x)保号
∴4ax+1=4a(x-2),a=-1/8.