（2013•杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1．

Question

（2013•杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S₁．
（1）求证：∠APE=∠CFP；
（2）设四边形CMPF的面积为S₂，CF=x，y＝(S1)/(S2)．
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；
②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．

Answer 1

（1）证明：∵∠EPF=45°，
∴∠APE+∠FPC=180°-45°=135°；
而在△PFC中，由于PC为正方形ABCD的对角线，则∠PCF=45°，
则∠CFP+∠FPC=180°-45°=135°，
∴∠APE=∠CFP．

（2）①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，
∴△APE∽△CFP，则(AP)/(CF)＝(AE)/(PC)．
而在正方形ABCD中，AC为对角线，则AC=√(2)AB=4√(2)，
又∵P为对称中心，则AP=CP=2√(2)，
∴AE=(AP•PC)/(CF)=(2√(2)•2√(2))/(x)=(8)/(x)．
如图，过点P作PH⊥AB于点H，PG⊥BC于点G，

P为AC中点，则PH∥BC，且PH=(1)/(2)BC=2，同理PG=2．
S_△APE=(1)/(2)PH•AE=(1)/(2)×2×(8)/(x)=(8)/(x)，
∵阴影部分关于直线AC轴对称，
∴△APE与△APN也关于直线AC对称，
则S_{四边形AEPN}=2S_△APE=(16)/(x)；
而S₂=2S_△PFC=2×