设n为正整数,在1与n+1之间插入n个正数,使这n+2个数成等比数例,则所插入的n个正数之积等于?要详解

Question

设n为正整数,在1与n+1之间插入n个正数,使这n+2 个数成等比数例,则所插入的n个正数之积等于?要详解

Answer 1

t(1)=1
t(n+2)=n+1
已知 t(i)=ar^(i-1)
有 a=1,r=(n+1)^(1/(n+1))
所插入的n个数分别为r,r^2,...,r^n
积为 r^(1+2+...+n)=r^(n(n+1)/2)
=((n+1)^(1/n+1))^(n(n+1)/2)
=(n+1)^(n/2)