焦点在x轴上的双曲线，虚半轴长为1，离心率为233．（1）求双曲线的标准方程；（2）已知直线l过点（4，-2），且与双曲线有一个公共点，求直线l的方程．

Question

焦点在x轴上的双曲线，虚半轴长为1，离心率为(2√(3))/(3)．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知直线l过点（4，-2），且与双曲线有一个公共点，求直线l的方程．

Answer 1

（1）焦点在x轴上的双曲线，虚半轴长为1，离心率为(2√(3))/(3)．
可得b=1，(c)/(a)=(2√(3))/(3)，
即(a2+b2)/(a2)=(4)/(3)，
解得a²=3．
所求的双曲线方程为：(x2)/(3)-y2=1．
（2）由双曲线的方程可知：
x=4时，y=±(√(39))/(3)，-(√(39))/(3)<-2<0，
可知点（4，-2）在双曲线内部，直线l过点（4，-2），且与双曲线有一个公共点，可知直线的斜率为：±√(3)．
所求的直线方程为：y+2=±√(3)（x-4）．
直线l的方程：√(3)x-y-6=0或√(3)x+y-2=0．