已知双曲线过点（3，-2）且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点．（1）求双曲线的标准方程；（2）若点M在双曲线上，F1、F2为左、右焦点，且|MF1|=2|MF2|，试求△MF1F2的面积．

Question

已知双曲线过点（3，-2）且与椭圆4x²+9y²=36有相同的焦点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点M在双曲线上，F₁、F₂为左、右焦点，且|MF₁|=2|MF₂|，试求△MF₁F₂的面积．

Answer 1

（1）椭圆方程可化为(x2)/(9)+(y2)/(4)=1，
焦点在x轴上，且c=√(9−4)=√(5)，…（2分）
故设双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1，…（3分）
则有

(9)/(a2)−(4)/(b2)＝1

a2+b2＝5

，解得a²=3，b²=2，…（5分）
所以双曲线的标准方程为(x2)/(3)-(y2)/(2)=1．…（6分）
（2）因为点M在双曲线上，又|MF₁|=2|MF₂|，
所以点M在双曲线的右支上，
则有|MF₁|-|MF₂|=2

作业帮用户 2017-10-11 举报

问题解析

（1）设双曲线方程为

√(3)(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1，由已知得

(9)/(a2)−(4)/(b2)＝1

a2+b2＝5

，由此能求出双曲线的标准方程．
（2）由点M在双曲线上，又|MF₁|=2|MF₂|，得|MF₁|-|MF₂|=2√(3)，从而|MF₁|=4√(3)，|MF₂|=2√(3)，又|F₁F₂|=2√(5)，由此能求出△MF₁F₂的面积．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查双曲线方程的求法，考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意曲线与方程思想的合理运用．

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