已知函数f（x）=alnx-x2，若对区间（0，1）内任取两个不等的实数p，q，不等式f(p+1)−f(q+1)p−q＞1恒成立，则实数a的取值范围是．

Question

已知函数f（x）=alnx-x²，若对区间（0，1）内任取两个不等的实数p，q，不等式(f(p+1)−f(q+1))/(p−q)＞1恒成立，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

∵∀p，q∈（0，1），不等式(f(p+1)−f(q+1))/(p−q)=(f(p+1)−f(q+1))/((p+1)−(q+1))＞1恒成立，
f（x+1）=aln（x+1）-（x+1）²，
∴f′（x+1）=(a)/(x+1)-2（x+1）＞1（0＜x＜1）恒成立，
即a＞2（x+1）²+（x+1）（0＜x＜1）恒成立，
设t=x+1，1＜t＜2，
则g（t）=2t²+t=2(t+(1)/(4))2-(1)/(8)；
∵y=g（t）的对称轴为t=-(1)/(4)，
∴y=g（t）在（1，2）上是单调增函数，故有g（t）＜g（2）=8+2=10，
∴a≥10，即实数a的取值范围是[10，+∞）．
故答案为：[10，+∞）．