已知函数f（x）=xex-a（lnx+x）．（1）若函数f（x）恒有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x>0，恒有不等式f（x）≥1成立．①求实数a的值；②证明：x2ex>（x+2）lnx+2sinx．

Question

已知函数f（x）=xe^x-a（lnx+x）．
（1）若函数f（x）恒有两个零点，求a的取值范围；
（2）若对任意x>0，恒有不等式f（x）≥1成立．
①求实数a的值；
②证明：x²e^x>（x+2）lnx+2sinx．

Answer 1

（1）f（x）=xe^x-alnx-ax，x>0，则f′(x)=(x+1)ex-a((1)/(x)+1)=(x+1)(ex-(a)/(x))．
当a≤0时，f'（x）>0，故f（x）单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意；
当a>0时，f'（x）=0有唯一解x=x₀，此时ex0x0=a，则f(x)min=f(x0)=x0ex0-alnx0-ax0．
注意到ex0x0=a，因此f(x)min=a-alnae-x0-ax0=a-alna<0⇒a∈(e，+∞)．
（2）①当a<0时，f（x）单调递增，f（x）的值域为R，不符合题意；
当a=0时，则f((1)/(2))=(1)/(2)e(1)/(2)<1，也不符合题意．
当a>0时，由（1）可知，f（x）_min=a-alna，故只需a-alna≥1．
令t=(1)/(a)，上式即转化为lnt≥t-1，
设h（t）=lnt-t+1，则h′(t)=(1-t)/(t)，因此h（t）在（0，1）上单调递增，
在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）_max=h（1）=0，所以lnt≤t-1．
因此，lnt=t-1⇒t=1，从而有(1)/(a)=t=1⇒a=1．
故满足条件的实数为a=1．
②证明：由①可知x²e^x-xlnx≥x²+x，因而只需证明：∀x>0，恒有x²+x>2lnx+2sinx．
注意到前面已经证明：x-1≥lnx，因此只需证明：x²-x+2>2sinx．
当x>1时，恒有2sinx≤2<x²-x+2，且等号不能同时成立；
当0<x≤1时，设g（x）=x²-x+2-2sinx，则g'（x）=2x-1-2cosx，
当x∈（0，1]时，g'（x）是单调递增函数，且g′(1)=1-2cos1<1-2cos(π)/(3)=0，
因而x∈（0，1]时恒有g'（x）<0；从而x∈（0，1]时，g（x）单调递减，
从而g（x）≥g（1）=2-2sin1>0，即x²-x+2>2sinx．
故x²e^x>（x+2）lnx+2sinx．