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证明函数f(x)=(10^x-10^-x)/(10^x+10^-x)在定义域内为增函数.
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证明函数f(x)=(10^x-10^-x)/(10^x+10^-x)在定义域内为增函数.
▼优质解答
答案和解析
f(x)=(10^x-10^-x)/(10^x+10^-x)
上下同乘10^x
则10^x*10^x=10^2x
10^-x*10^x=10^(x-x)=10^0=1
所以f(x)=(10^2x-1)/(10^2x+1)
=(10^2x+1-2)/(10^2x+1)
=[(10^2x+1)-2]/(10^2x+1)
=(10^2x+1)/(10^2x+1)-2/(10^2x+1)
=1-2/(10^2x+1)
设a则f(a)-f(b)=[1-2/(10^2a+1)]-[1-2/(10^2b+1)]
=2/(10^2b+1)-2/(10^2a+1)
通分
=2(10^2a+1-10^2b-1)/(10^2a+1)(10^2a+1)
=2(10^2a-10^2b)/(10^2a+1)(10^2a+1)
因为10^2a+1>0,10^2b+1>0
所以分母大于0
因为10^x是增函数
a所以10^2a<10^2b
10^2a-10^2b<0
所以分子小于0
所以f(a)-f(b)<0
即当af(a)
上下同乘10^x
则10^x*10^x=10^2x
10^-x*10^x=10^(x-x)=10^0=1
所以f(x)=(10^2x-1)/(10^2x+1)
=(10^2x+1-2)/(10^2x+1)
=[(10^2x+1)-2]/(10^2x+1)
=(10^2x+1)/(10^2x+1)-2/(10^2x+1)
=1-2/(10^2x+1)
设a则f(a)-f(b)=[1-2/(10^2a+1)]-[1-2/(10^2b+1)]
=2/(10^2b+1)-2/(10^2a+1)
通分
=2(10^2a+1-10^2b-1)/(10^2a+1)(10^2a+1)
=2(10^2a-10^2b)/(10^2a+1)(10^2a+1)
因为10^2a+1>0,10^2b+1>0
所以分母大于0
因为10^x是增函数
a所以10^2a<10^2b
10^2a-10^2b<0
所以分子小于0
所以f(a)-f(b)<0
即当af(a)
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