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已知,△ABC内接于O,∠BAC=60°,AE⊥BC,CF⊥AB.AE,CF相交于点H,点D为弧BC的中点,连接HD,AD.求证:△AHD为等腰三角形.
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已知,△ABC内接于 O,∠BAC=60°,AE⊥BC,CF⊥AB.AE,CF相交于点H,点D为弧BC的中点,连接HD,AD.求证:△AHD为等腰三角形.


▼优质解答
答案和解析
证明:连接AO、OD,过O作OM⊥AC,则AM=
AC,如图所示:
∵∠BAC=60°,CF⊥AB,
∴AF=
AC,
∴AM=AF,
∵AE⊥BC,CF⊥AB,
∴∠ABC+∠FHE=180°,
∵∠FHE+∠AHF=180°,
∴∠ABC=∠AHF,
∵∠AOM=
∠AOC=∠ABC,
∴∠AHF=∠AOM,
在△AMO与△AFH中,
,
∴△AMO≌△AFH(AAS),
∴AO=AH,
∵OD=OA,
∴AO=AH=OD,
∵点D为弧BC的中点,
∴OD⊥BC,
∵AE⊥BC,
∴AE∥OD,
∴四边形OAHD为平行四边形,
∵AO=AH,
∴四边形AHDO是菱形,
∴AH=HD,
∴△AHD为等腰三角形.
1 |
2 |

∵∠BAC=60°,CF⊥AB,
∴AF=
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∴AM=AF,
∵AE⊥BC,CF⊥AB,
∴∠ABC+∠FHE=180°,
∵∠FHE+∠AHF=180°,
∴∠ABC=∠AHF,
∵∠AOM=
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∴∠AHF=∠AOM,
在△AMO与△AFH中,
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∴△AMO≌△AFH(AAS),
∴AO=AH,
∵OD=OA,
∴AO=AH=OD,
∵点D为弧BC的中点,
∴OD⊥BC,
∵AE⊥BC,
∴AE∥OD,
∴四边形OAHD为平行四边形,
∵AO=AH,
∴四边形AHDO是菱形,
∴AH=HD,
∴△AHD为等腰三角形.
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