已知，△ABC内接于O，∠BAC=60°，AE⊥BC，CF⊥AB．AE，CF相交于点H，点D为弧BC的中点，连接HD，AD．求证：△AHD为等腰三角形．

Question

已知，△ABC内接于 O，∠BAC=60°，AE⊥BC，CF⊥AB．AE，CF相交于点H，点D为弧BC的中点，连接HD，AD．求证：△AHD为等腰三角形．

Answer 1

证明：连接AO、OD，过O作OM⊥AC，则AM=(1)/(2)AC，如图所示：
∵∠BAC=60°，CF⊥AB，
∴AF=(1)/(2)AC，
∴AM=AF，
∵AE⊥BC，CF⊥AB，
∴∠ABC+∠FHE=180°，
∵∠FHE+∠AHF=180°，
∴∠ABC=∠AHF，
∵∠AOM=(1)/(2)∠AOC=∠ABC，
∴∠AHF=∠AOM，
在△AMO与△AFH中，

∠AFH=∠AMO=90°

∠AHF=∠AOM

AF=AM

，
∴△AMO≌△AFH（AAS），
∴AO=AH，
∵OD=OA，
∴AO=AH=OD，
∵点D为弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE∥OD，
∴四边形OAHD为平行四边形，
∵AO=AH，
∴四边形AHDO是菱形，
∴AH=HD，
∴△AHD为等腰三角形．