如图所示，左图是游乐场中过山车的实物图片，右图是过山车的原理图．在原理图中半径分别为R1=2.0m和R2=8.0m的两个光滑圆形轨道，固定在倾角为α=37°斜轨道面上的Q、Z两点，且两圆

Question

如图所示，左图是游乐场中过山车的实物图片，右图是过山车的原理图．在原理图中半径分别为R ₁ =2.0m和R ₂ =8.0m的两个光滑圆形轨道，固定在倾角为α=37°斜轨道面上的Q、Z两点，且两圆形轨道的最高点A、B均与P点平齐，圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接．现使小车（视作质点）从P点以一定的初速度沿斜面向下运动．已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数为μ= (1)/(24) ．问：（已知：g=10m/s ² ，sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan（ (a)/(2) ）= (sina)/(1+cosa) ．结果可保留根号．）

（1）若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处，则其在P点的初速度应为多大？
（2）若小车在P点的初速度为10m/s，则小车能否安全通过两个圆形轨道？

Answer 1

（1）小车恰好过A点，由牛顿第二定律有
mg=m (v2A)/(R1)
小球P到A的过程中，由动能定理有
-μmgcosα•S _PQ = (1)/(2) m

v

2A

- (1)/(2) m

v

20

由几何关系可得S _PQ = (R1 (1+cosα))/(sinα)
代入数据可得v ₀ =2

6

m/s
（2）小车以v=10m/s的初速度从P点下滑时，因为有v=10m/s＞v ₀ =2

6

m/s
所以小车可以通过圆弧轨道O ₁ ，设小车恰好能通过B点，
由牛顿第二定律有 mg=m (v2B)/(R2)
则P到B由动能定理得
-μmgcosα•S _PZ = (1)/(2) m

v

2B

- (1)/(2) m

v

2P

其中 S _PZ = (R2 (1+cosα))/(sinα)
代入数据可得 v _P =

96

m/s
因为v _P =

96

m/s＜10m/s，所以小车能安全通过两个圆形轨道．
答：
（1）若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处，则其在P点的初速度应为2

6

m/s ；
（2）若小车在P点的初速度为10m/s，小车能安全通过两个圆形轨道．