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如图,已知过A(2,4)分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为M、N,若点P从O点出发,沿OM作匀速运动,1分钟可到达M点,点Q从M点出发,沿MA作匀速运动,1分钟可到达A点.(1)经过多少时间,
题目详情
如图,已知过A(2,4)分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为M、N,若点P从O点出发,沿OM作匀速运动,1分钟可到达M点,点Q从M点出发,沿MA作匀速运动,1分钟可到达A点.
(1)经过多少时间,线段PQ的长度为2?
(2)写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围;
(3)在P、Q运动过程中,是否可能出现PQ⊥MN?若有可能,求出此时间t;若不可能,请说明理由;
(4)是否存在时间t,使P、Q、M构成的三角形与△MON相似?若存在,求出此时间t;若不可能,请说明理由.
(1)经过多少时间,线段PQ的长度为2?
(2)写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围;
(3)在P、Q运动过程中,是否可能出现PQ⊥MN?若有可能,求出此时间t;若不可能,请说明理由;
(4)是否存在时间t,使P、Q、M构成的三角形与△MON相似?若存在,求出此时间t;若不可能,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵A(2,4),
∴OM=AN=2,AM=ON=4,
∵点P1分钟可到达M点,点Q1分钟可到达A点,
∴点P的运动速度是2个单位每分钟,点Q的运动速度是4个单位每分钟.
设经过t秒,则PM=2-2t,MQ=4t,
在直角△PQM中,PM2+MQ2=PQ2,即(2-2t)2+16t2=4,解得:t=
或0(舍去),
即经过
秒,线段PQ的长度为2;
(2)y=(2-2t)2+16t2,即y=20t2-8t+4;
(3)M的坐标是(2,0),N的坐标是(0,4),
设直线MN的解析式是y=kx+b,则
,
解得:
,
则直线MN的解析式是:y=-2x+4,
当PQ⊥MN时:
=
,解得:t=
,
即当t=
时,PQ⊥MN;
(4)当△PMQ∽△MON时,
=
,即:
=
,解得:t=
;
当△QMP∽△MON时,
=
,即
∴OM=AN=2,AM=ON=4,
∵点P1分钟可到达M点,点Q1分钟可到达A点,
∴点P的运动速度是2个单位每分钟,点Q的运动速度是4个单位每分钟.
设经过t秒,则PM=2-2t,MQ=4t,
在直角△PQM中,PM2+MQ2=PQ2,即(2-2t)2+16t2=4,解得:t=
2 |
5 |
即经过
2 |
5 |
(2)y=(2-2t)2+16t2,即y=20t2-8t+4;
(3)M的坐标是(2,0),N的坐标是(0,4),
设直线MN的解析式是y=kx+b,则
|
解得:
|
则直线MN的解析式是:y=-2x+4,
当PQ⊥MN时:
4t |
2−2t |
1 |
2 |
1 |
5 |
即当t=
1 |
5 |
(4)当△PMQ∽△MON时,
PM |
OM |
MQ |
ON |
2−2t |
2 |
4t |
4 |
1 |
2 |
当△QMP∽△MON时,
QM |
OM |
MP |
ON |
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