1）假设函数fn（x）=1-（1-cosx）n，证明下面问题a）对于任意的自然数n，方程fn（x）=12在（0，π2）中仅有一根．b）设xn∈（0，π2），满足fn（xn）=12则limn→∞xn=π2．

Question

1）假设函数f_n（x）=1-（1-cosx）ⁿ，证明下面问题
a） 对于任意的自然数n，方程f_n（x）=(1)/(2)在（0，(π)/(2)）中仅有一根．
b） 设x_n∈（0，(π)/(2)），满足f_n（x_n）=(1)/(2)则

lim

n→∞

xn=(π)/(2)．

Answer 1

证明：a）因为f n(0)=1，fn((π)/(2))=0，
由介值定理可得，
∃xn∈(0，(π)/(2))，f n(xn)=(1)/(2)．
又因为
f

′

n

(x)=-nsinx(1-cosx)n-1<0，x∈(0，(π)/(2))，
所以f_n（x）在（0，(π)/(2)）中严格单调，
因此方程f_n（x）=(1)/(2)在（0，(π)/(2)）中的根唯一．
b）因为fn(arccos(1)/(n))=1-(1-(1)/(n))n，
所以

lim

n→∞

fn(arccos(1)/(n))=1-e-1>(1)/(2)．
由极限的保号性可得，
∃N，∀n>N，f(arccos(1)/(n))>(1)/(2)=f(xn)．
因为f_n（x）在（0，(π)/(2)）中严格单调，
所以arccos(1)/(n)<xn<(π)/(2)．
又因为

lim

n→∞

arccos(1)/(n)=(π)/(2)，
故利用夹逼定理可得，

lim

n→∞

xn=(π)/(2)．