求方程组x3+y3+z3＝x+y+zx2+y2+z2＝xyz的所有（如果有）正实数解．

Question

求方程组

x3+y3+z3＝x+y+z

x2+y2+z2＝xyz

的所有（如果有）正实数解．

Answer 1

假设原方程组有正实数解．将第二个方程写成x²-（yz）x+（y²+z²）=0．
∵关于x的二次方程有一个实数解的前提是它的判别式是非负数．
∴y²z²-4y²-4z²≥0，y²z²≥4y²+4z²．除以4y²z²，得(1)/(4)≥(1)/(y2)+(1)/(z2)≥(1)/(y2)．
∴y²≥4，由于y是正数，故y≥2，
同理得x，y，z≥2．
但第一个方程可写成x（x²-1）+y（y²-1）+z（z²-1）=0，
∵x，y，z≥2，
∴原方程组不存在正实数解．