证明题概率这是不是很简单00设A,B为两个事件,p(a|b)=p(a|非b),证明A与B独立.

Question

证明题 概率 这是不是很简单0 0
设A,B为两个事件,p(a|b)=p(a|非b) ,证明A与B独立.

Answer 1

若P(B)=1或者0,显然有P(AB)=P(A)P(B)
若不然
由P(A|B)=P(AB)/P(B) 及 P(A|B)=P(A非B) /P(非B) = (P(A)-P(AB))/(1-P(B))
有 P(AB)/P(B) =(P(A)-P(AB))/(1-P(B))
整理一下：
P(AB)(1-P(B))=P(B)(P(A)-P(AB))
再整理有：P(AB)=P(A)P(B)
中间用到 P(A非B)=P(A-B) = P(A)-P(AB) 这个结论
所以A,B独立