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证明n的5次方减n为五的倍数
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证明n的5次方减n为五的倍数
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答案和解析
n^5-n = n*(n^4-1)
= n*(n^2-1)(n^2+1)
= n*(n-1)*(n+1)*(n^2+1)
一、n = 5k 或者 n = 5k + 1 或者 n = 5k + 4
由上面的表达式,显然,n^5-n 是 5的倍数
二、n = 5k+2 时
(n^2+1) = [(5k+2)^2 + 1] = [25*(k^2) + 20*k +5] 显然是5的倍数
三、n = 5k+3时
(n^2+1) = [(5k+3)^2 + 1] = [25*(k^2) + 30*k +10] 显然是5的倍数
综上,
（n^5-n）能被5整除
= n*(n^2-1)(n^2+1)
= n*(n-1)*(n+1)*(n^2+1)
一、n = 5k 或者 n = 5k + 1 或者 n = 5k + 4
由上面的表达式,显然,n^5-n 是 5的倍数
二、n = 5k+2 时
(n^2+1) = [(5k+2)^2 + 1] = [25*(k^2) + 20*k +5] 显然是5的倍数
三、n = 5k+3时
(n^2+1) = [(5k+3)^2 + 1] = [25*(k^2) + 30*k +10] 显然是5的倍数
综上,
（n^5-n）能被5整除
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