设M是由2008个正整数组成的集合,且每个元素都不能被大于28的素数整除,求证:M中必存在四个元素,他们的乘积是一个整数的四次方.顺便问下:这种题目是算数论的还是组合数学的问题?难度如何?

Question

设M是由2008个正整数组成的集合,且每个元素都不能被大于28的素数整除,求证:M中必存在四个元素,他们的乘积是一个整数的四次方.
顺便问下:这种题目是算数论的还是组合数学的问题?
难度如何?是IMO级别的还是高中联赛二试的?
我也就能证到这里~看来这道题难在组合方面啊~哪个高手帮我完成后半部分

Answer 1

这个应该是数论加组合的混合题.
设M={a(1),a(2),a(3)……a(2008)}对每个正整数做标准质因数分解,因为每个元素都不能被大于28的素数整除,所以a(i)没有大于28的质因数
令a(i)=2^(b[1][i])*3^(b[2][i])*5…………*23^(b[9][i])
其中b[j][i]>=0且对于任意 p不等于q,都有b[j][p]与b[j][q]不全相等(j=1,2,……9),这由集合内元素各不相等得出.
要证原命题成立,即证存在不同的α,β,γ,δ,使得b[j][α]+b[j][β]+b[j][γ]+b[j][δ]能被4整除（j=1,2,3……9）取c[j][i]=b[j][i] 模4的最小正余数,然后就剩下组合的问题了~