现有A，B两个投资项目，投资两项目所获得利润分别是P和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系依次是：其中P与x平方根成正比，且当x为4（万元）时P为1（万元），又Q与x成正比，当x

Question

现有A，B两个投资项目，投资两项目所获得利润分别是P和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系依次是：其中P与x平方根成正比，且当x为4（万元）时P为1（万元），又Q与x成正比，当x为4（万元）时Q也是1（万元）；某人甲有3万元资金投资．
（Ⅰ）分别求出P，Q与x的函数关系式；
（Ⅱ）请帮甲设计一个合理的投资方案，使其获利最大，并求出最大利润是多少？

Answer 1

（I）设P，Q与x的比例系数分别是k₁，k₂，则P＝k1√(x)，Q=k₂x且都过（4，1）…（1分）
所以：P＝(√(x))/(2)(x≥0)…（2分），Q＝(x)/(4)(x≥0)…（2分）
（Ⅱ）设甲投资到A，B两项目的资金分别为x（万元），（3-x）（万元）（0≤x≤3），获得利润为y万元…（1分）
由题意知：y＝(√(x))/(2)+(3−x)/(4)=−(1)/(4)(√(x)−1)2+1…（1分）
所以当√(x)=1，即x=1时，y_max=1…（2分）
答：甲在A，B两项上分别投入为1万元和2万元，此时利润最大，最大利润为1万元..（1分）