证明：极限limn→∞sinn不存在，其中n为正整数．

Question

证明：极限

lim

n→∞

sinn不存在，其中n为正整数．

Answer 1

证明：假设

lim

n→∞

sinn=a，则由柯西收敛准则，有

lim

n→∞

[sin(n+2)-sinn]=2

lim

n→∞

[sin1cosn]=2sin1•

lim

n→∞

cosn=0
∴

lim

n→∞

cosn=0
而sin²n+cos²n=1，因此

lim

n→∞

sinn=1或-1
但

lim

n→∞

sin(2n)=2

lim

n→∞

[sinn•cosn]=0，矛盾
故

lim

n→∞

sinn不存在