是否存在无穷个正整数（m,n)使得m^2+n^2+1整除nm为什么

Question

是否存在无穷个正整数（m,n)使得m^2+n^2+1整除nm 为什么

Answer 1

1）
当m,n为m=1,n=1时,
mn=1
m²+n²+1=3
显然m²+n²+1可以整除mn,原式成立
当m,n为m=1,n=2时,
mn=2
m²+n²+1=1+1+4=6
显然m²+n²+1可以整除mn,原式成立
2）
令当m,n取M和N,即：m=M,n=N时也成立,即：
(M²+N²+1)/(MN) = K,K为正整数,探求当m>M,或者n>N时,是否原式仍然成立,如果成立,那么必定存在无数个正整数使得原式成立；
∵M²+N²+1=KMN
∴M²-KMN+N²+1=0,不失一般性,将该式看成是M的二元一次方程,则：
M={KN±√[(K²N²)-4N²-4]}/2
显然,当K²N² ≥4N²+4时,M有解,
令K²N²=4N²+4+X²,X∈正整数,则：
M={KN±X}/2
此时：KN=2√(N²+X²+1),则：
M=√(N²+X²+1)±(X/2),
再令X=2Y,则：
M=[√(N²+4Y²+1)]±Y
N²+4Y²+1不构成素数,因此在整个N+中,必能开方,且不唯一,有无穷多解,因此：
M的值是非唯一的,
又∵在式m²+n²+1和式mn中,m和n是轮换对称的,因此,m和n的值是无穷多解的,
当M取M+P,n取N+Q时,(P,Q∈N+),同理可证也成立,
因此,综上,原命题是成立的.