如图在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为BD的中点,问,在棱AA1上是否存在一点M,使平面MBD垂直于平面OC1D1,如果存在,求出AM:MA1的值

Question

如图在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为BD的中点,问,在棱AA1上是否存在一点M,使平面MBD垂直于平面OC1D1,如果存在,求出AM:MA1的值

Answer 1

在棱AA1上存在一点M,使平面MBD垂直于平面OC1D1.
连接A`C`、MO、C`M、AC,则O是AC中点
        设正方体边长为1,则AC=A`C`=√2,AO=CO=√2/2

       ∵O是正方体ABCDA1B1C1D1中,BD的中点
       ∴BO=DO,BC`=DC`
       ∴C`O⊥BD
       ∵ 面MBD⊥面OC`D`
       ∴C`O⊥面MBD
       ∴C`O⊥MO
       ∴MO²+C`O²=C`M²
       ∵MO²=AM²+AO²,C`O²=C`C²+CO²,C`M²=A`C`²+MA`²
       ∴AM²+AO²+C`C²+CO²=A`C`²+MA`²
       ∴AM²+1/2+1+1/2=2+MA`²
       ∴AM=MA`
       ∴AM：MA`=1