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如图在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为BD的中点,问,在棱AA1上是否存在一点M,使平面MBD垂直于平面OC1D1,如果存在,求出AM:MA1的值
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如图在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为BD的中点,问,在棱AA1上是否存在一点M,使平面MBD垂直于平面OC1D1,如果存在,求出AM:MA1的值
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答案和解析
在棱AA1上存在一点M,使平面MBD垂直于平面OC1D1.
连接A`C`、MO、C`M、AC,则O是AC中点
设正方体边长为1,则AC=A`C`=√2,AO=CO=√2/2
∵O是正方体ABCDA1B1C1D1中,BD的中点
∴BO=DO,BC`=DC`
∴C`O⊥BD
∵ 面MBD⊥面OC`D`
∴C`O⊥面MBD
∴C`O⊥MO
∴MO²+C`O²=C`M²
∵MO²=AM²+AO²,C`O²=C`C²+CO²,C`M²=A`C`²+MA`²
∴AM²+AO²+C`C²+CO²=A`C`²+MA`²
∴AM²+1/2+1+1/2=2+MA`²
∴AM=MA`
∴AM：MA`=1
在棱AA1上存在一点M,使平面MBD垂直于平面OC1D1.
连接A`C`、MO、C`M、AC,则O是AC中点
设正方体边长为1,则AC=A`C`=√2,AO=CO=√2/2
∵O是正方体ABCDA1B1C1D1中,BD的中点
∴BO=DO,BC`=DC`
∴C`O⊥BD
∵ 面MBD⊥面OC`D`
∴C`O⊥面MBD
∴C`O⊥MO
∴MO²+C`O²=C`M²
∵MO²=AM²+AO²,C`O²=C`C²+CO²,C`M²=A`C`²+MA`²
∴AM²+AO²+C`C²+CO²=A`C`²+MA`²
∴AM²+1/2+1+1/2=2+MA`²
∴AM=MA`
∴AM：MA`=1
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