如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD中点.（2）求二面角E-AC-D的平面角的余弦值（3）求点B到平面EAC的距离有没有哪个知道答案的阿。

Question

如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD中点.
（2）求二面角E-AC-D的平面角的余弦值
（3）求点B到平面EAC的距离
有没有哪个知道答案的阿。

Answer 1

(2) 拟用面积投影定理.
求得:PD= AC = 根号(20) = 2根号5.AE = 根号5,
角PDC = 90度.求得CE = 根号(5+4) = 3.
在三角形AEC中,用余弦定理,得cos角EAC = [5+20 -9]/[2*(根号5)(2根号5)] = 4/5.
从而sin角EAC = 3/5.
三角形EAC的面积S= (1/2)(根号5)(2根号5)*(3/5) = 3.(***)
平面PAD垂直于平面ABCD.(过平面的垂线的平面,垂直于这平面)
作EF垂直于AD于F,则EF垂直于平面ABCD.(两平面垂直,则一平面内垂直于其交线的平面垂直于这平面)
从而:F为E在平面ABCD的投影,而三角形ACF为三角形ACE在平面ABCD的投影.
容易求得三角形ACF的面积A = 2.
则由定理知:A = (二面角E-AC-D的平面角的余弦值)*S
即:二面角E-AC-D的平面角的余弦值 = A/S =2/3.
(3)以三角形ABC为底,可求得三棱锥E-ABC的体积为V= (1/3)*4*1= 4/3.
再以三角形EAC为底计算,其高H,即为B点到平面EAC的距离.
有(4/3) =(1/3)*S*H .(S已经求出 ***)
得H = 4/S = 4/3.