求：三角形ABP面积取最大值时直线L的方程?椭圆C（a>b>0）的离心率为0.5,其左焦点到点P（2,1)的距离为根号10,不过原点O的直线L与椭圆C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.

Question

求：三角形ABP面积取最大值时直线L的方程?
椭圆C（a>b>0）的离心率为0.5,其左焦点到点P（2,1)的距离为根号10,不过原点O的直线L与椭圆C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.

Answer 1

椭圆C（a>b>0）的离心率为0.5,其左焦点到点P（2,1)的距离为√10,不过原点O的直线L与椭圆C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.求△ABP面积取最大值时直线L的方程?
c/a=0.5,故a=2c,b²=a²-c²=4c²-c²=3c²,故椭圆方程为x²/(4c²)+y²/(3c²)=1.(1)；
左焦点F₁(-c,0)；∣PF₁∣=√[(2+c)²+1]=√10；去根号得(2+c)²=9,2+c=3,故c=1,代入(1)式得椭圆方程为：x²/4+y²/3=1.(2)；
OP所在直线的方程为：y=(1/2)x.(3)
设直线L的方程为y=kx+b,(k≠0,b≠0)；与椭圆相交于A(x₁,y₁)；B(x₂,y₂)；AB的中点在OP上,因此有等式：(y₁+y₂)/2=(1/2)[(x₁+x₂)/2]=(x₁+x₂)/4,
即有y₁+y₂=(x₁+x₂)/2.(4)；
将直线L的方程代入(2)式得：3x²+4(kx+b)²=12；即有(3+4k²)x²+8kbx+4b²-12=0；
依维达定理,x₁+x₂=-(8kb)/(3+4k²)； x₁x₂=(4b²-12)/(3+4k²)；
y₁+y₂=(kx₁+b)+(kx₂+b)=k(x₁+x₂)+2b=-(8k²b)/(3+4k²)+2b=6b/(3+4k²)；
代入(4)式得：6b/(3+4k²)=-(4kb)/(3+4k²)； 于是得6=-4k,故k=-6/4=-3/2；
故直线L的方程为y=-(3/2)x+b,即3x+2y-2b=0.(5)
x₁+x₂=12b/(3+9)=b；
x₁x₂=(4b²-12)/(3+9)=(b²-3)/3；
点P(2,1)到直线L的距离h=∣6+2-2b∣/√13=∣8-2b∣/√13.(6)
弦长∣AB∣=√{(1+k²)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]}=√{(13/4)[b²-4(b²-3)/3]}=(1/2)√{13[(12-b²)/3]}
故S△ABP=(1/2)∣AB∣h=(1/4)∣8-2b∣√[(12-b²)/3]=(1/2)√[(1/3)(12-b²)(4-b)²]
=[1/(2√3)]√(-b⁴+8b³-4b²-96b+192)
设u=-b⁴+8b³-4b²-96b+192
令du/db=-4b³+24b²-8b-96=-4(b³-6b²+2b+24)=0
得b³-6b²+2b+24=b²(b-4)-2b(b-4)-6(b-4)=(b-4)(b²-2b-6)=0
得驻点b₁=1-√7,b₂=1+√7；b₃=4(舍去,此时L与椭圆不相交.)；其中b₁是极大点,
b₂是极小点；故当S△ABP最大时直线L的方程为y=-(3/2)x+1-√7.